Vector Autoregressive Moving Average (VARMA) মডেল

VARMA মডেল (Vector Autoregressive Moving Average Model) হল একাধিক টাইম সিরিজ ডেটার জন্য একটি স্ট্যাটিস্টিক্যাল মডেল যা autoregressive (AR) এবং moving average (MA) উপাদানগুলো সমন্বিত করে। VARMA মডেলটি বহু পরিবর্তনশীল টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয় এবং এই মডেলটি একাধিক সম্পর্কিত সিরিজের মধ্যে সহযোগিতা এবং পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ করার জন্য উপযুক্ত।

VARMA মডেলের ধারণা

VARMA মডেলটি দুইটি মৌলিক অংশের সংমিশ্রণ:

1. AR (AutoRegressive) অংশ: পূর্ববর্তী মানের উপর ভিত্তি করে ভবিষ্যৎ মানের পূর্বাভাস।
2. MA (Moving Average) অংশ: ত্রুটি বা র্যান্ডম শকগুলোর মাধ্যমে ভবিষ্যৎ মানের পূর্বাভাস।

VARMA মডেলটি একাধিক টাইম সিরিজের পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য উপযুক্ত, যেখানে একাধিক পরিবর্তনশীলের গতিশীলতা এবং তাদের মধ্যে সম্পর্ক থাকে।

VARMA মডেলের সাধারণ ফর্ম

VARMA মডেলটি সাধারণত নিচের ফর্মে লেখা হয়:

$$\mathbf{Y}_t = \mathbf{c} + \sum_{i=1}^{p} \mathbf{\Phi}_i \mathbf{Y}_{t-i} + \sum_{j=1}^{q} \mathbf{\Theta}_j \mathbf{\epsilon}_{t-j} + \mathbf{\epsilon}_t$$

এখানে:

• $\mathbf{Y}_t$ হল $k \times 1$ আকারের টাইম সিরিজ ভেক্টর যা বর্তমান সময়ের মানকে প্রতিনিধিত্ব করে।
• $\mathbf{c}$ হল কনস্ট্যান্ট বা ডিটারমিনিস্টিক অংশ।
• $\mathbf{\Phi}_i$ হল $k \times k$ মেট্রিক্স যা AR অংশের প্যারামিটার।
• $\mathbf{\epsilon}_t$ হল ত্রুটি বা ইনোভেশন (innovation) ভেক্টর।
• $\mathbf{\Theta}_j$ হল $k \times k$ মেট্রিক্স যা MA অংশের প্যারামিটার।
• $p$ হল AR অংশের অর্ডার এবং $q$ হল MA অংশের অর্ডার।

VARMA মডেল এবং VAR মডেল মধ্যে পার্থক্য

• VAR মডেল (Vector Autoregressive model) শুধুমাত্র AR অংশ নিয়ে কাজ করে, যেখানে একাধিক টাইম সিরিজের পূর্ববর্তী মানের উপর ভিত্তি করে বর্তমান মান অনুমান করা হয়।
• VARMA মডেল AR এর সাথে MA অংশও যুক্ত করে, যেখানে বর্তমান মানের পূর্বাভাস শুধুমাত্র পূর্ববর্তী মানগুলির উপর নয়, পূর্ববর্তী ত্রুটির (errors) উপরও নির্ভর করে।

VARMA মডেল ব্যবহার করার জন্য শর্তাবলী

• ডেটা স্টেশনারি হতে হবে: VARMA মডেলটি ব্যবহারের জন্য টাইম সিরিজ ডেটা স্টেশনারি হতে হবে। যদি ডেটা স্টেশনারি না হয়, তবে ডেটাকে স্টেশনারি করতে হবে (যেমন, ডিফারেন্সিং বা ট্রান্সফরমেশন ব্যবহার করে)।
• ল্যাগের নির্বাচন: AR এবং MA অংশের জন্য সঠিক ল্যাগ সংখ্যা নির্বাচন করতে হবে। ACF (Autocorrelation Function) এবং PACF (Partial Autocorrelation Function) ব্যবহার করে সঠিক ল্যাগ নির্ধারণ করা যায়।

VARMA মডেলের জন্য ডেটা প্রিপ্রসেসিং

VARMA মডেল ব্যবহারের পূর্বে টাইম সিরিজ ডেটাকে কিছু প্রিপ্রসেসিং প্রক্রিয়া অনুসরণ করতে হবে:

1. স্টেশনারিটি নিশ্চিত করা: ডেটার গড় এবং ভ্যারিয়েন্স সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকতে হবে। ডেটা স্টেশনারি না হলে ডিফারেন্সিং বা লগ ট্রান্সফরমেশন ব্যবহার করা যেতে পারে।
2. মিসিং ডেটা হ্যান্ডলিং: মিসিং ভ্যালুগুলো ফরওয়ার্ড ফিলিং, ব্যাকওয়ার্ড ফিলিং, বা ইম্পুটেশন পদ্ধতিতে পূর্ণ করা যেতে পারে।
3. ডেটার স্কেলিং: ডেটার স্কেল বা পরিসর খুব ভিন্ন হলে, স্কেলিং পদ্ধতি (যেমন, মিন-ম্যান স্কেলিং বা স্ট্যান্ডার্ড স্কেলিং) ব্যবহার করা যেতে পারে।

VARMA মডেলের উপকারিতা এবং সীমাবদ্ধতা

উপকারিতা:

1. বহু টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ: VARMA মডেল একাধিক টাইম সিরিজের পারস্পরিক সম্পর্ক এবং যোগাযোগ বিশ্লেষণ করতে সহায়ক।
2. AR এবং MA এর সংমিশ্রণ: ARMA মডেলের সুবিধা যেমন ল্যাগ সহ পূর্ববর্তী মানের ব্যবহার এবং ত্রুটির সাথে সম্পর্কিত প্রভাবের ব্যবহার।
3. ফিউচার প্রেডিকশন: বিভিন্ন টাইম সিরিজের ভবিষ্যতের মানের পূর্বাভাস প্রদান।

সীমাবদ্ধতা:

1. ডেটা স্টেশনারি হতে হবে: VARMA মডেলটি স্টেশনারি ডেটার জন্য উপযুক্ত এবং এই জন্য ডেটাকে প্রিপ্রসেসিং করে স্টেশনারি করা প্রয়োজন।
2. কমপ্লেক্সিটি: একাধিক টাইম সিরিজের জন্য মডেল তৈরি করা জটিল হতে পারে, এবং অধিক সংখ্যক ল্যাগ ও প্যারামিটার অনুমান করতে সময় বেশি লাগে।
3. সিজনালিটি: সিজনাল প্যাটার্ন বিশ্লেষণ করতে VARMA মডেল সঠিকভাবে কাজ নাও করতে পারে, এবং এজন্য SARIMA (Seasonal ARIMA) মডেল প্রয়োগ করা হতে পারে।

VARMA মডেল উদাহরণ:

ধরা যাক, দুটি সম্পর্কিত টাইম সিরিজের ডেটা আছে, এবং আপনি তাদের মধ্যে সম্পর্ক এবং পূর্বাভাস তৈরির জন্য VARMA মডেল প্রয়োগ করতে চান।

উদাহরণ (Python কোড):

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.api import VAR

# Sample data: two related time series
data = {'Series1': np.random.randn(100), 'Series2': np.random.randn(100)}
df = pd.DataFrame(data)

# Fit VAR model
model = VAR(df)
model_fitted = model.fit(5)  # Fit the model with lag 5

# Forecasting
forecast = model_fitted.forecast(df.values[-5:], steps=5)

print(forecast)

এখানে:

• VAR মডেলটি ব্যবহার করে দুইটি সম্পর্কিত টাইম সিরিজের উপর কাজ করা হয়েছে।
• ল্যাগ ৫ দিয়ে মডেল ফিট করা হয়েছে এবং ভবিষ্যতের জন্য পূর্বাভাস তৈরি করা হয়েছে।

সারাংশ

VARMA মডেল হল একাধিক সম্পর্কিত টাইম সিরিজের জন্য একটি শক্তিশালী টুল, যা AutoRegressive (AR) এবং Moving Average (MA) অংশের সংমিশ্রণ দিয়ে কাজ করে। এটি পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ এবং ভবিষ্যতের পূর্বাভাস তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। VARMA মডেলটি স্টেশনারি ডেটা এবং সঠিক ল্যাগ নির্ধারণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ এবং এটি বড় পরিমাণের ডেটা বিশ্লেষণের জন্য উপযুক্ত।